要证明三角形的外心（即三角形外接圆的圆心），需先明确外心的定义：它是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等。下面内容是两种典型的证明技巧：

技巧一：垂直平分线交点的唯一性证明

• 构造垂直平分线
  任取三角形的两边（如AB和AC），分别作它们的中垂线。根据垂直平分线的性质，所有在AB中垂线上的点到A、B的距离相等；同理，AC中垂线上的点到A、C的距离相等。

• 确定交点O的存在性
  设AB的中垂线为l，AC的中垂线为m。由于三角形非退化（三点不共线），l和m必相交于一点O。根据垂直平分线性质，此时O到A、B、C的距离均相等（OA=OB=OC）。

• 验证第三边中垂线过O点
  再作BC的中垂线n，需证明O也在n上。

  • 由于OA=OB，O在AB的中垂线上；
  • 同理，OA=OC，O在AC的中垂线上；
  • 由OB=OC，O也在BC的中垂线n上。
    因此，三边中垂线共点于O，即O为外心。

技巧二：全等三角形法

• 选取中点构造全等三角形
  取AB中点F和AC中点E，分别作中垂线OF和OE，交于点O。

  • 在△AFO与△BFO中，AF=BF，FO=FO，∠AFO=∠BFO=90°，故△AFO≌△BFO（SAS），得OA=OB。
  • 同理，在△AEO与△CEO中，AE=CE，EO=EO，∠AEO=∠CEO=90°，故△AEO≌△CEO（SAS），得OA=OC。

• 得出外心性质
  由OA=OB且OA=OC，得OA=OB=OC。因此，O到三个顶点的距离相等，且位于三边的垂直平分线上，故O为外心。

补充说明

• 外心位置与三角形类型的关系：
  • 锐角三角形外心在内部；
  • 直角三角形外心在斜边中点；
  • 钝角三角形外心在外部。
• 外接圆半径公式：
  若三角形边长为a、b、c，面积为S，则外接圆半径R=abc/(4S)。

怎么样？经过上面的分析技巧，可严谨证明三角形外心的存在性和唯一性，并明确其几何意义。如需进一步计算外心坐标或探讨与其他“四心”（如重心、垂心）的关系，可结合向量或解析几何技巧。